Vào khoảng 1909, Hilbert dành thời gian nghiên cứu phương trình vi phân và phương trình tích phân; các công trình của ông có những ảnh hưởng trực tiếp đến giải tích hàm hiện đại. Để tiến hành các nghiên cứu này, Hilbert giới thiệu khái niệm không gian Euclid vô hạn chiều, sau này gọi là không gian Hilbert. Các công trình của ông trong phần này của giải tích đã cung cấp những đóng góp quan trọng cho toán dùng trong vật lý cho hai mươi năm sau đó, mặc dù theo một hướng không dụ đoán trước. Sau này, Stefan Banach mở rộng khái niệm này, định nghĩa không gian Banach. Không gian Hilbert là một ý tưởng quan trọng trong lĩnh vực giải tích hàm phát triển xung quanh đó trong suốt thế kỉ 20.